Säännölliset monikulmiot — oppitunti. Matematiikka, 9.luokka.

Monikulmio on säännöllinen, jos sen sivut ovat keskenään yhtä pitkät ja kulmat keskenään yhtä suuret.

Kuvassa on muutamia säännöllisiä monikulmioita: kolmio, nelikulmio (neliö), viisikulmio ja kuusikulmio.

Kun säännöllisiin kuperiin monikulmioihin piirretään lävistäjiä, niin muodostuu säännölliset koverat monikulmiot:

Viisikulmion lävistäjistä saadaan pentagrammi, kuusikulmion lävistäjistä heksagrammi ja seitsenkulmion lävistäjistä jopa kaksi erilaista heptagrammia:

Kun kaikki lävistäjät piirretään yhdestä huipusta, jokaista \(n\)-kulmiota voidaan jakaa \(n-2\) kulmioon. Näin kaikkien sisäkulmien summa saadaan kaavalla

180 ° \cdot (n - 2)

Koska kaikki säännöllisen \(n\)-kulmion kulmat ovat yhtä suuret, niin yhden sisäkulman suuruus on

\frac{180 ° \cdot (n - 2)}{n}

Jokaisen säännöllisen monikulmion sisään tai sen ulkopuolelle voi piirtää ympyrän, silloin molempien ympyröiden keskipiste on sama, jota kutsutaan monikulmion keskipisteeksi.

Sisäympyrä sivuaa kaikkia monikulmion sivuja ja ulkoympyrä kulkee monikulmion kärkien kautta.

∡ AOH = \frac{360 °}{n}; ∡ AOK = \frac{360 °}{2n} = \frac{180 °}{n}

Kolmiossa \(AOK\) sivu \(a\) on yhtenäinen (puolet sivusta \(AK\) ), ulkoympyrän säde \(OA = r\) ja sisäympyrän säde \(OK = r\).

\begin{array}{l} \frac{a}{2} = R \cdot \sin \frac{180 °}{n}; a = 2 R \cdot \sin \frac{180 °}{n}; R = \frac{a}{2 \sin \frac{180 °}{n}} \\ \frac{a}{2} = r \cdot tg \frac{180 °}{n}; a = 2 r \cdot tg \frac{180 °}{n}; r = \frac{a}{2 tg \frac{180 °}{n}} \\ r = R \cdot \cos \frac{180 °}{n}; R = \frac{r}{\cos \frac{180 °}{n}} \end{array}

Koska \(n\)- kulmio muodostuu \(AOH\) suuruisista \(n\) kolmioista, niin

S_{n - уг .} = n \cdot S_{AOH} = n \cdot \frac{AH \cdot r}{2} = \frac{p \cdot r}{2}

Säännöllisen kolmion ja neliön kohdalla kaikki käsiteltävät kaavat geometrian kurssilla ovat pätevät.

Takaisin aiheeseen

Seuraava tehtävä

Lähetä palautetta

Löysitkö virheen?

Ilmoita meille!

1. Säännölliset monikulmiot

Teoria: